BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY SCHWARZ DẠNG ENGEL

     

đẳng thức đa số chúng ta trong chúng ta thường thân thiện tới bất đẳng thức đại số nhưng mà ở

đó có khá nhiều kĩ thuật để khai thác và chứng minh.Bài viết sau đây sẽ trình diễn một kĩ

thuật bé dại nhưng khá hữu ích trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz để

chứng minh những bất đẳng thức.Nhằm giúp cho bạn đọc hiểu rõ hơn ý tưởng phát minh và biện pháp tiếp

cận mỗi vấn đề bất đẳng thức thì so với mỗi việc tôi phần lớn phân tích phía tiếp

cận, tiếp nối nêu ý tưởng làm bài và cuối cùng là lời giải cụ thể cho việc đó, ở

đây bọn họ xét với bất đẳng thức tía biến, đối với các bất đẳng thức nhiều đổi thay hơn

chúng ta làm tương tự. Hi vọng bài viết sẽ có lợi cho nhiều bạn đọc




Bạn đang xem: Bất đẳng thức cauchy schwarz dạng engel

*
*



Xem thêm: Calculating Derivatives - The Product And Quotient Rules

Bạn vẫn xem câu chữ tài liệu Ứng dụng bất đẳng thức cauchy–schwarz dạng engel trong minh chứng bất đẳng thức, để mua tài liệu về máy bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Hàm Số Nào Có Đạo Hàm 1/Cosx, Hàm Số Nào Có Đạo Hàm Là 1/Cosx

1b3(c+ a)+1c3(a+ b) 32Phân tích bài bác toán:Bài toán này khi tiếp cận, bọn họ thấy vế trái của bất đẳng thức tất cả dạng phân số,bậc của chủng loại số lớn hơn bậc của tử số. Điều đó giúp họ nghĩ tới bất đẳng thứcCauchy- Schwarz dạng Engel. Đến phía trên nếu vận dụng trực tiếp luôn, chúng ta có:1a3(b+ c)+1b3(c+ a)+1c3(a+ b) (1 + 1 + 1)2a3(b+ c) + b3(c+ a) + c3(a+ b)Khi đó việc trở nên phức hợp hơn, và dễ dẫn tới thất vọng trong giải quyết. Do vậyđể ý một chút họ thấy1a3(b+ c)=1a2a(b+ c), hôm nay việc vận dụng bất đẳng thứcCauchy- Schwarz dạng Engel sở hữu lại hiệu quả rõ rệt.Chứng minhTa có:V T =1a3(b+ c)+1b3(c+ a)+1c3(a+ b)=1a2a(b+ c)+1b2b(c+ a)+1c2c(a+ b)(1a+ 1b+ 1c)22(ab+ bc+ ca)=(ab+ bc+ ca)22(ab+ bc+ ca)Vậy V T  ab+ bc+ ca2Áp dụng bất đẳng thức AM–GM, ta có:V T  ab+ bc+ ca2 33pa2b2c22=32= V PHoàng minh quân 4 trung học phổ thông Ngọc Tảo-Hà NộiĐẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1Bài toán 5 cho những số thực dương x; y; z thỏa mãn nhu cầu x2 + y2 + z2  13Chứng minh rằng:x32x+ 3y + 5z+y32y + 3z + 5x+z32z + 3x+ 5y 130Phân tích bài toán:Quan sát bài toán chúng ta thấy đó là bất dẳng thức đối xứng cha biến gồm dạng phânthức, điều này gợi cho chúng ta nghĩ tới bất đẳng thức Cauchy–Schawrz dạng Engelnhằm sút bậc của phân thức giúp bọn họ có review dễ dàng hơn. Từ kia tiếpcận vế trái , ta phân tíchx32x+ 3y + 5z=x4x(2x+ 3y + 5z)để vận dụng bất đẳng thứcCauchy–Schawrz. Chúng ta làm như sau:Chứng minhÁp dụng bất đẳng thức Cauchy– Schawrz dạng Engel ta có:V T =x4x(2x+ 3y + 5z)+y4y(2y + 3z + 5x)+z4z(2z + 3x+ 5y) (x2 + y2 + z2)22(x2 + y2 + z2) + 8(xy + yz + zx)Lại có: x2 + y2 + z2  xy + yz + zx nênV T  (x2 + y2 + z2)210(x2 + y2 + z2)=x2 + y2 + z210 130Đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi x = y = z =13Bài toán 6 Cho bố số thực dương a; b; c.thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3abc.Chứngminh rằng:ab2c2+bc2a2+ca2b2 9a+ b+ cPhân tích bài xích toán:Tiếp cận bài toán bọn họ thấy vế trái của bất đẳng thức bao gồm dạng phân thức,.Nhưvậy bọn họ nghĩ tới áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel nhằm chứngminh.Vì đưa thiết đề bài cho a2 + b2 + c2 = 3abc buộc phải để tận dụng về tối đa trả thiết nàythì chúng ta làm cho xuất hiện a2 + b2 + c2.Điều đó lý giải cho trên sao bọn họ lạiphân tíchab2c2=a4a3b2c2chứ không phân tíchab2c2=a2ab2c2dù bọn chúng cùng đưa về dạngbình phương sinh sống tử số.Chứng minhÁp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:V T =a4a3b2c2+b4b3c2a2+c4c3a2b2 (a2 + b2 + c2)2a2b2c2(a+ b+ c)=(3abc)2a2b2c2(a+ b+ c)=9a+ b+ cHoàng minh chủ 5 trung học phổ thông Ngọc Tảo-Hà NộiĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1Bài toán 7 Cho ba số thực dương a; b; c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:a4(a+ b)2(a+ c)+b4(b+ c)2(b+ a)+c4(c+ a)2(c+ b) 38Phân tích bài toán:Tiếp cận bài xích toán chúng ta thấy , vế trái của bất đẳng thức có dạng phân số, như vậychúng ta rất có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel để hội chứng minh.Để ý một chút họ thấy∑cyca4(a+ b)2(a+ c)có thể viết lại thành∑cyca4(a+b)2(a+ c)và nhưvậy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel vẫn xuất hiện. Côngviệc của bọn họ chỉ là vận dụng để chứng minh.Chứng minhÁp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:∑cyca4(a+ b)2(a+ c)(∑cyca2a+b)22(a+ b+ c)(1)Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:∑cyca2a+ b (a+ b+ c)22(a+ b+ c)=a+ b+ c2(2)Từ (1) với (2) ta có:∑cyca4(a+ b)2(a+ c)(a+b+c2)22(a+ b+ c)=a+ b+ c8 33pabc8=38Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1Bài toán 8 Cho tía số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:a3a3 + abc+ b3+b3b3 + abc+ c3+c3c3 + abc+ a3 1Phân tích bài bác toán:Tiếp cận bài xích toán họ thấy , vế trái của bất đẳng thức có dạng phân số, như vậychúng ta rất có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel để bệnh minh.Tuy nhiên quan liêu sát bọn họ lại thấy bậc của tử số và chủng loại số của từng phân thức đềucùng bậc ba. Vì đó đây là bất đẳng thức thuần độc nhất vô nhị để đối chọi giản chúng ta cũng có thể chuẩnhóa abc = 1.Với việc chuẩn chỉnh hóa abc = 1, họ sử dụng phép thế tương thích để đưabất đẳng thức đã mang đến về bất đẳng thức dễ dàng và đơn giản hơn mà bọn họ dễ nhận ra việc ápdụng được bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel để hội chứng minh.Chứng minhBất đẳng thức thuần nhất phải ta chuẩn hóa abc = 1 .Đặt a = 3√xy; b = 3√yz; c = 3√zxVới x; y; z > 0Ta có:a3a3 + abc+ b3=xyxy+ 1 + zx=x2x2 + xy + yzHoàng minh chủ 6 trung học phổ thông Ngọc Tảo-Hà NộiKhi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:x2x2 + xy + yz+y2y2 + yz + zx+z2z2 + zx+ xy 1Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:x2x2 + xy + yz+y2y2 + yz + zx+z2z2 + zx+ xy (x+ y + z)2x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)Hayx2x2 + xy + yz+y2y2 + yz + zx+z2z2 + zx+ xy (x+ y + z)2(x+ y + z)2= 1Đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi x = y = z = 1 tốt a = b = c = 1.Bài toán 9 Cho bố số thực dương a; b; c .Chứng minh rằng:a2 + b2a+ b+b2 + c2b+ c+c2 + a2c+ a a+ b+ cPhân tích bài xích toán:Quan sát bài toán bọn họ thấy bất đẳng thức của đề bài xích ra nhìn khá phức hợp vàchưa có dấu hiệu gì mang lại việc thực hiện được bất đẳng thức Cauchy- Schwartz nhưngbằng việc nắm chắc áp dụng Cauchy- Schwarz dạng Engel thì chúng ta cũng có thể tách rađể được những phân thức bao gồm tử số là dạng bình phương. Việc đến phía trên trở yêu cầu dễ dànghơn rồi.Chứng minhTa có:a2 + b2a+ b+b2 + c2b+ c+c2 + a2c+ a=a2a+ b+b2a+ b+b2b+ c+c2b+ c+c2c+ a+a2c+ aÁp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel, ta có:a2a+ b+b2a+ b+b2b+ c+c2b+ c+c2c+ a+a2c+ a <2(a+ b+ c)>24(a+ b+ c)= a+ b+ c(Điều buộc phải chứng minh)Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi a = b = c.Bài toán 10 (USAMO 2003)Cho tía số thực dương a; b; c .Chứng minh rằng:(2a+ b+ c)22a2 + (b+ c)2+(2b+ c+ a)22b2 + (c+ a)2+(2c+ a+ b)22c2 + (a+ b)2 8Phân tích bài toán:Đây là một bài toán khá xuất xắc trong kì thi học sinh giỏi nước Mĩ năm 2003, bài toánnày có tương đối nhiều cách chứng minh và thật thú vị chúng ta cũng có thể giải bằng phương pháp sơcấp là vận dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel. Khi giagr dạy dỗ giáo viênphân tích cho học sinh hiểu tại sao bọn họ nghĩ ra được biện pháp giải này.Tiếp cận bài bác toán chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thức gồm dạng phân thức, cho dù tửsố của mỗi phân số đều sở hữu dạng bình phương .Điều kia gợi cho bọn họ nghĩ cho tới sửdụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel nhưng chúng ta chưa thể sử dụngngay được vị dấu của bất đẳng thức đã chỉ ra rằng dấu “ ”. Vậy ta tìm kiếm cách mang về bấtHoàng anh quân 7 trung học phổ thông Ngọc Tảo-Hà Nộiđẳng thức mà có thể sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel.Khi đóĐể ý bọn họ thấy :3 (2a+ b+ c)22a2 + (b+ c)2=2(b+ c a)22a2 + (b+ c)2Do đó:(2a+ b+ c)22a2 + (b+ c)2+(2b+ c+ a)22b2 + (c+ a)2+(2c+ a+ b)22c2 + (a+ b)2 8tương đương2(b+ c a)22a2 + (b+ c)2+2(c+ a b)22b2 + (c+ a)2+2(a+ b c)22c2 + (a+ b)2 1Đến đây việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel là dễ dàng dàng.Chúngta làm bài bác này như sau:Chứng minhTa bao gồm nhận xét sau: 3 (2a+ b+ c)22a2 + (b+ c)2=2(b+ c a)22a2 + (b+ c)2Do kia bất đẳng thức đã cho được viết lại.2(b+ c a)22a2 + (b+ c)2+2(c+ a b)22b2 + (c+ a)2+2(a+ b c)22c2 + (a+ b)2 1 (1)Bây giờ họ chứng minh Bất đẳng thức (1).Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có: a2 + b2  (a+ b)22từ đóta có:(a+ b)2  2(a2 + b2); (b+ c)2  2(b2 + c2); (a+ c)2  2(a2 + c2) nênV T (1) =2(b+ c a)22a2 + (b+ c)2+2(c+ a b)22b2 + (c+ a)2+2(a+ b c)22c2 + (a+ b)2 2(b+ c a)22(a2 + b2 + c2)+2(c+ a b)22(a2 + b2 + c2)+2(a+ b c)22(a2 + b2 + c2)Vậy ta buộc phải chứng minh(b+ c a)2 + (c+ a b)2 + (a+ b c)2a2 + b2 + c2 1 có nghĩa là ta chỉ cầnchứng minh (b+ c a)2 + (c+ a b)2 + (a+ b c)2  a2 + b2 + c2tương đương a2 + b2 + c2 (ab+ bc+ ca)  0 (Đúng) .Vậy ta bao gồm điều bắt buộc chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c.Như vậy qua câu hỏi phân tích và phương pháp giải 10 việc trên mang đến nhiều trường hợp khácnhau. Hy vọng bạn hiểu sẽ cụ được ý tưởng của việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schawrz vào việc minh chứng các việc bất đẳng thức.Sau đây là một số bài toánmời bạn đọc tự giải để củng cố gắng thêm kĩ năng làm bài:Bài toán 11 (Nebits)Cho tía số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:ab+ c+bc+ a+ca+ b 32Bài toán 12 (Croatia 2004) Cho ba số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:x2(x+ y)(x+ z)+y2(y + z)(y + x)+z2(z + x)(z + y) 34Hoàng anh quân 8 thpt Ngọc Tảo-Hà NộiBài toán 13 (Rumani 2004) Cho tía số thực dương a; b; c. Chứng tỏ rằng:abc(c+ a)+bca(a+ b)+cab(b+ c) 272(a+ b+ c)Bài toán 14 (Vasc)Cho tía số thực a; b; c không âm với hai trong bố số khôngđồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:14a2 + b2 + c2+14b2 + c2 + a2+14c2 + a2 + b2 12(a2 + b2 + c2)+1ab+ bc+ caBài toán 15 (Hoàng Minh Quân)Cho những số thực a; b; c > 0 thỏa mãnab+ bc+ ca = 1.Chứng minh rằng:a(3b+ 5c)3+b(3c+ 5a)3+c(3a+ 5b)3 9512TÀI LIỆU THAM KHẢO1. Phạm Kim Hùng, sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội.2. Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ, Bất đẳng thức suy luận với khám phá, NXB ĐHQG HàNội.3. Võ Quốc Bá Cẩn,Trần Quốc Anh , Bất đẳng thức cùng những lời giải hay, NXB HàNội,2009.4. T.Andreescu,V.Cirtoaje, G.Dospinescu, M.Lascu.Old và New Inequalities, Gil pub-lishing House5. Hoàng anh quân 9 thpt Ngọc Tảo-Hà Nội