CHO HÌNH LẬP PHƯƠNG ABCD.A1B1C1D1 CÓ CẠNH BẰNG A

     

Cho hình lập phương (ABCD.A_1B_1C_1D_1) có cạnh bằng 1. Hai điểm (M,,N) lần lượt biến đổi trên những đoạn (AB_1) với (BC_1) sao cho (MN) luôn tạo với phương diện phẳng (left( ABCD ight)) một góc (60^0)(tham khảo hình vẽ). Giá chỉ trị nhỏ nhắn nhất của đoạn (MN) là

*


Lời giải của Tự học 365

Giải bỏ ra tiết:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó (Aleft( 0;0;0 ight),Bleft( 1;0;0 ight),Dleft( 0;1;0 ight),A_1left( 0;0;1 ight)).

Bạn đang xem: Cho hình lập phương abcd.a1b1c1d1 có cạnh bằng a

Khi kia (B_1left( 1;0;1 ight),C_1left( 1;1;1 ight)).

Đường thẳng (AB_1) gồm phương trình (left{ eginarraylx = t\y = 0\z = tendarray ight. Rightarrow Mleft( m;0;m ight) in AB_1).

Xem thêm: 10 Cách Khắc Phục Mạng Yếu, Wifi Chập Chờn Lúc Được Lúc Không ?

Đường trực tiếp (BC_1) tất cả phương trình (left{ eginarraylx = 1\y = t\z = tendarray ight. Rightarrow Nleft( 1;n;n ight) in BC_1).

( Rightarrow overrightarrow MN = left( 1 - m;n;n - m ight)).

Xem thêm: Hay Bị Tê Chân Tay Là Bệnh Gì ? Tê Bì Chân Tay Thường Xuyên Là Dấu Hiệu Bệnh Gì

Mặt phẳng (left( ABCD ight):z = 0) có VTPT (overrightarrow k = left( 0;0;1 ight)).

Góc thân (MN) với (left( ABCD ight)) bởi (60^0)

(eginarrayl Rightarrow sin 60^0 = fracleftleft = frac n - m ightsqrt left( 1 - m ight)^2 + n^2 + left( n - m ight)^2 \ Leftrightarrow fracsqrt 3 2 = fracsqrt left( 1 - m ight)^2 + n^2 + left( n - m ight)^2 endarray)

(eginarrayl Leftrightarrow 3left< left( 1 - m ight)^2 + n^2 + left( n - m ight)^2 ight> = 4left( n - m ight)^2\ Leftrightarrow left( n - m ight)^2 = 3left< n^2 + left( 1 - m ight)^2 ight> ge frac32left( n + 1 - m ight)^2 = frac32left< left( n - m ight)^2 + 2left( n - m ight) + 1 ight>\ Leftrightarrow left( n - m ight)^2 + 6left( n - m ight) + 3 le 0\ Leftrightarrow - 3 - sqrt 6 le n - m le - 3 + sqrt 6 \ Leftrightarrow 3 - sqrt 6 le left| n - m ight| le 3 + sqrt 6 \ Rightarrow MN = sqrt left( 1 - m ight)^2 + n^2 + left( n - m ight)^2 = sqrt frac43left( n - m ight)^2 = frac2sqrt 3 3left| n - m ight|endarray)

cơ mà (3 - sqrt 6 le left| n - m ight| le 3 + sqrt 6 )( Rightarrow frac2sqrt 3 3left( 3 - sqrt 6 ight) le frac2sqrt 3 3left| n - m ight| le frac2sqrt 3 3left( 3 + sqrt 6 ight))

(eginarrayl Rightarrow frac2sqrt 3 3left( 3 - sqrt 6 ight) le MN le frac2sqrt 3 3left( 3 + sqrt 6 ight)\ Rightarrow MN_min = frac2sqrt 3 3left( 3 - sqrt 6 ight) = 2left( sqrt 3 - sqrt 2 ight).endarray)

Dấu bằng xảy ra khi (left{ eginarrayl1 - m = n\left| n - m ight| = 3 - sqrt 6 endarray ight.)