Điểm Đối Xứng Qua Đường Thẳng
Cách tra cứu điểm đối xứng của một điểm qua mặt đường thẳng cực hay
Với phương pháp tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua con đường thẳng cực hay Toán lớp 10 có đầy đủ phương thức giải, ví dụ như minh họa và bài xích tập trắc nghiệm bao gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài xích tập kiếm tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài bác thi môn Toán lớp 10.
Bạn đang xem: điểm đối xứng qua đường thẳng
A. Cách thức giải
Cho điểm A và con đường thẳng (d): ax + by + c = 0 . Tra cứu điểm M đối xứng với điểm A qua mặt đường thẳng (d):
+ cách 1: Lập phương trình con đường thẳng AM:
⇒ Phương trình (AM) .
+ cách 2: hotline H là hình chiếu của A bên trên d. Khi ấy AM và d giao nhau tại H đề xuất tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:
+ cách 3: bởi M đối xứng cùng với A qua d bắt buộc H là trung điểm của AM.
Áp dụng cách làm trung điểm đoạn thẳng ta được:
B. Lấy ví dụ như minh họa
Ví dụ 1: mang lại đường trực tiếp d: 2x - 3y + 3 = 0 cùng M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là:
A. ( -4; 8 ) B. (-4; -8 ) C. ( 4; 8) D. (4; -8)
Lời giải
+Phương trình con đường thẳng MM’:
⇒ ( MM’) : 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 xuất xắc 3x + 2y - 28 = 0
+ điện thoại tư vấn H là hình chiếu của M lên d. Khi đó MM’ với d giảm nhau tại H bắt buộc tọa độ H là nghiệm hệ :
+ khi ấy H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng phương pháp trung điểm ta suy ra
Chọn C.
Ví dụ 2: đến điểm M(1; 2) và con đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0. Toạ độ của điểm đối xứng cùng với điểm M qua d là:
A. (; )B. (-
Lời giải
Ta thấy M ∉ d .
Gọi H( a; b) là hình chiếu của điểm M khởi hành thẳng d MH→( a - 1; b - 2) .
Ta bao gồm đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0 nên tất cả vtpt: n→(2;1)
Suy ra u→( -1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Do đó H(
Gọi M’( x; y) đối xứng cùng với M qua đường thẳng d . Khi ấy ta có: H là trung điểm của MM’
Ta có:
Vậy tọa độ điểm đối xứng cùng với M qua d là M"(; ) .
Chọn A.
Ví dụ 3 : mang lại đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 cùng M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng cùng với M qua d là
A. ( -4; 8) B. ( -4; -8) C. ( 4; 8) D. ( 4; -8)
Lời giải
+ vì chưng M’ đối xứng cùng với M qua d đề xuất MM’ vuông góc cùng với d.
+ Đường thẳng MM’:
⇒ MM’: 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 tốt 3x + 2y - 28 = 0
+ gọi H là giao điểm của MM’ và d. Lúc đó tọa độ H là nghiệm hệ :
+ vì M’ đối xứng với M qua d đề xuất H là trung điểm của MM’. Tọa độ điểm M’ là:
Chọn C.
Ví dụ 4: mang lại điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm điểm đối xứng cùng với A qua con đường thẳng d.
A. ( 1; -2) B. ( ; ) C. (
Lời giải
+ call H là hình chiếu của A khởi hành thẳng (d) .
+ Lập phương trình đường thẳng AH:
( AH) :
⇒ Phương trình ( AH) : 2( x - 1) – 1.( y - 2) = 0 xuất xắc 2x - y = 0
+ hai tuyến phố thẳng AH cùng d giảm nhau trên H đề xuất tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
+ gọi B đối xứng với A qua d. Khi đó; H là trung điểm của AB.
⇒ Tọa độ điểm B là:
Chọn B.
Ví dụ 5: đến điểm A( 2; 0) và mặt đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Search điểm A’ đối xứng cùng với điểm A qua đường thẳng d.
A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. ( 1; -2) D. (-2; -1)
Lời giải
Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.
⇒ Điểm đối xứng cùng với điểm A qua đường thẳng d chính là điểm A.
Chọn B.
Ví dụ 6: mang lại tam giác ABC bao gồm A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB với J( -4; 2) là trung điểm của AC. Hotline điểm A’ đối xứng điểm A qua BC. Viết phương trình mặt đường thẳng AA’?
A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
+ vì I với J theo lần lượt là trung điểm của AB với AC bắt buộc IJ là mặt đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+ bởi A’ đối xứng với A qua BC
⇒ AA’ vuông góc BC (2).
Từ(1) và ( 2) suy ra: AA’ vuông góc IJ
+ Lập phương trình AA’:
⇒ ( AA’): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 xuất xắc 6x + 2y + 4 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho con đường thẳng ∆ :
A. (4; -2) B. M’(- ; )C. M’(; ) D. M’(
Lời giải
Gọi M’ đối xứng cùng với M qua ∆.
+ Đường trực tiếp MM’:
⇒ Phương trình con đường thẳng MM’:
3(x - 1) – 2(y - 2)= 0 tốt 3x - 2y + 1 = 0.
+ Giao điểm H của mặt đường thẳng MM’ cùng ∆ là nghiệm hệ:
+ Điểm M đối xứng M’ qua ∆ cần H là trung điểm MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
Chọn B.
Ví dụ 8: mang lại tam giác ABC gồm AB = 6; BC = 6√2 cùng góc B = 450.Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua BC. Search mệnh đề sai?
A. Tứ giác ACA’B là hình thoi
B. AA’ = 3
C. BA’ = 6
D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành
Lời giải
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 62 + (6√2)2 - 2.6.6√2.cos450 = 36
⇒ AC = 6 phải AB = AC = 6 với AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân nặng tại A.
+ call H là chân con đường cao hạ từ bỏ điểm A lên BC.
AH là con đường cao buộc phải đồng thời là con đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm của BC: AH = bh = CH = BC/2 = 3√2 ⇒ AA’= 6√2
+ vì A’ đối xứng cùng với điểm A qua BC bắt buộc H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc với nhau.
Xem thêm: Văn Bản Chiếc Lược Ngà - Soạn Bài Chiếc Lược Ngà (Trang 195)
Tứ giác ACA’B bao gồm hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi con đường
⇒ ACA’B là hình bình hành.
Lại tất cả hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau nên ACA’B là hình thoi.
⇒ B sai
Chọn B.
C. Bài bác tập vận dụng
Câu 1: tìm điểm A’ đối xứng cùng với điểm A( 3;-4) qua con đường thẳng d:
A. ( 4; -2) B. (5; 0) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
+ trước tiên ta tìm hình chiếu của A lên d.
Gọi điểm H(2 + 2t; -1 - t) thuộc d là hình chiếu của A.
Ta có AH→( 2t - 1; 3 - t).
Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)
+Do H là hình chiếu của A trên d đề xuất AH vuông góc với d
⇔ u→ . AH→ = 0 ⇔ 2( 2t - 1) – 1( 3 - t) = 0
⇔ 4t- 2- 3+ t= 0 ⇔ t= 1
⇒ H( 4; -2)
Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).
+ vày A’ đối xứng cùng với A qua d bắt buộc H là trung điểm của AA’.
⇒ Tọa độ điểm A’ là:
Câu 2: mang đến đường thẳng ∆:
A. 1,12B. - 0, 91C. 1,31D. - 0,92
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
+ Ta search hình chiếu của M trên ∆.
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ bắt buộc H( 2 - 3t; 1 + 2t) cùng MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)
Đường trực tiếp ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .
MH→ ⊥ u→ ⇔ MH→ . U→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t =
+ Ta kiếm tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆.
Ta tất cả H là hình chiếu của M bên trên ∆ trên M là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là:
⇒ Hoành độ điểm M’ xê dịch - 0,92
Câu 3: kiếm tìm điểm M’ đối xứng cùng với M(4; 1) qua con đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:
A. (;
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Đường thẳng d có một VTPT n→( 1; -2).
+ Ta search hình chiếu của M trên d.
điện thoại tư vấn H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên phố thẳng d.
Suy ra MH vuông góc d cần hai vecto MH→(2t – 8; t- 1) với n→(1; -2) thuộc phương.
Do đó:
+ Điểm M’ đối xứng cùng với M qua d cần H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là:
Câu 4: mang lại tam giác ABC gồm A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB cùng J( -1; 0) là trung điểm của AC. Kiếm tìm điểm K đối xứng cùng với điểm A qua IJ?
A. K(; - ) B. K( ; ) C. K( - ; - ) D. K( ;
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
+ vày I cùng J lần lượt là trung điểm của AB với AC phải IJ là mặt đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+Gọi H là hình chiếu của A lên IJ
⇒ AH vuông góc IJ .
+ Lập phương trình AH:
⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 tốt 3x + y - 6 = 0.
+ Phương trình IJ:
⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 tốt x - 3y + 1 = 0.
+ Giao điểm của IJ với AH là H. Tọa độ điểm H là nghiệm hệ :
+ gọi điểm K đối xứng với A qua IJ. Lúc đó; H là trung điểm của AK
⇒ Tọa độ điểm K:
Câu 5: mang đến điểm M(- 2; 1) và con đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0.Gọi điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Lúc ấy điểm M’ nằm trên tuyến đường thẳng nào?
A. x + 2y - 3 = 0 B. 2x + 4y - 3 = 0 C. x + 2y = 0 D. x + 2y - 6 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
+ Đường trực tiếp ∆ có một VTPT n→( 2; -1)
điện thoại tư vấn H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)
⇒ hai tuyến phố thẳng MH với ∆ vuông góc với nhau nên hai vecto MH→ và n→( 2; -1) thuộc phương. Suy ra:
⇒ Tọa độ điểm H( - ;
+ bởi vì điểm M’ đối xứng cùng với M qua ∆ buộc phải H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
⇒ điểm M’thuộc mặt đường thẳng: x + 2y = 0
Câu 6: mang đến đường thẳng ∆:
A. 3 B. 4 C. 5 D. √17
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
+ hotline H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H nằm trong ∆ buộc phải H( -3 + t ; - 2t) ⇒ MH→( t- 5 ; 3 - 2t)
Đường thẳng tất cả vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .
Do H là hình chiếu vuông góc của M bên trên ∆ nên hai tuyến đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau
⇒ MH→ . U→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0
⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2
⇒ H (- 0,8; - 4,4) .
+ Điểm M’ đối xứng cùng với điểm M qua mặt đường thẳng ∆ phải H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
Độ nhiều năm đoạn AM’ là:
Câu 7: search điểm đối xứng cùng với điểm A( 1; 2) qua con đường thẳng d:
A. H( 1; 2) B. H( ;
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
+ Phương trình bao quát của đường thẳng d: 2x - 6y + 12 = 0 tốt x - 3y + 6 = 0
+ đem điểm H(3t - 6; t) ở trong d -là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta tất cả AH→( 3t - 7; t - 2)
Vectơ pháp đường của d là n→( 1; -3) .
+Do H là hình chiếu của A trên d cần hai vecto AH→ với n→ thuộc phương :
⇔
⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =
+ cùng với t = ta có H( ; )
+ gọi điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt đường thẳng d. Suy ra H là trung điểm của AA’.
⇒ Tọa độ điểm A’:
Câu 8: cho tam giác ABC bao gồm AB = 1; BC = 1√2 cùng góc B = 450.Gọi A’ là vấn đề đối xứng cùng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Tứ giác ACA’B là vuông
B. AA’ = 2
C. BA’ = 1
D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 12 + (1√2)2 - 2.1.1√2.cos450 = 1
⇒ AC = 1 buộc phải AB = AC = 1 cùng AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân nặng tại A.
+ hotline H là chân mặt đường cao hạ từ điểm A lên BC.
Xem thêm: Thế Nào Là Đoạn Văn Diễn Dịch Là Gì ? Cách Viết Một Đoạn Văn Diễn Dịch
⇒ AH là đường cao cần đồng thời là con đường trung tuyến đường
⇒ H là trung điểm của BC: AH = bh = CH =
⇒ AA’= √2
+ vì A’ đối xứng cùng với điểm A qua BC bắt buộc H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc cùng với nhau.
