Hai Phương Trình Tương Đương

     

Nếu tiến hành các phép biển cả đổi tiếp sau đây trên một phương trình mà không làm biến hóa điều kiện của chính nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) cùng hay trừ hai vế cùng với cùng một vài hoặc và một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế cùng với cùng một trong những khác <0> hoặc với một biểu thức luôn luôn có cực hiếm khác <0.>

Chú ý: gửi vế và đổi lốt một biểu thức thực ra là tiến hành phép cộng hay trừ nhì vế với biểu thức đó.

Bạn đang xem: Hai phương trình tương đương

III. Phương trình hệ quả

Nếu hầu hết nghiệm của phương trình những là nghiệm của phương trình thì phương trình được gọi là phương trình hệ trái của phương trình

Ta viết

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta call đó là nghiệm nước ngoài lai.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Chọn cặp phương trình tương đương trong những cặp phương trình sau:

A. với $x=1.$ B. với $x=1.$

C. cùng $x+2=1.$ D. và $x+2=1.$

Giải:

Ÿ Đáp án A. Ta có 

*

Ÿ Đáp án B. Ta có

*

Do đó, với $x=1$ không hẳn là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án C. Ta có 

*
 

Do đó, và $x+2=1$ chưa phải là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án D. Ta có 

*
 

Do đó, và $x+2=1$ chưa hẳn là cặp phương trình tương đương.

Chọn A

Câu 2: Chọn cặp phương trình tương đương trong những cặp phương trình sau:

A. < ext2x+sqrtx-3=1+sqrtx-3> với $2x=1.$ B. cùng $x=0.$

C. và $x+1=left( 2-x ight)^2.$ D. với $x=1.$

Giải:

Ÿ Đáp án A. Ta có 

*
 

Do đó, < ext2x+sqrtx-3=1+sqrtx-3> và $2x=1$ chưa hẳn là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án B. Ta có 

*
 

Do đó, với $x=0$ là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án C. Ta có 

*
 

Do đó, với $x+1=left( 2-x ight)^2$ chưa phải là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án D. Ta có 

*
 

Do đó, cùng $x=1$ chưa phải là cặp phương trình tương đương.

Chọn B.

Câu 3: Chọn cặp phương trình không tương đương trong những cặp phương trình sau:

A. cùng $x+2=left( x-1 ight)^2.$

B. <3xsqrtx+1=8sqrt3-x> với <6xsqrtx+1=16sqrt3-x.>

C. với

D.

Giải:

Ta có 

*

Do đó, với chưa hẳn là cặp phương trình tương đương.

Chọn D

Câu 4: Tìm giá trị thực của thông số $m$ nhằm cặp phương trình sau tương đương:

$2x^2+mx-2=0$ $left( 1 ight)$ cùng $2x^3+left( m+4 ight)x^2+2left( m-1 ight)x-4=0$ $left( 2 ight)$ .

A. $m=2.$ B. $m=3.$ C. $m=frac12.$ D. $m=-2.$

Giải:

Ta gồm $left( 2 ight)Leftrightarrow left( x+2 ight)left( 2x^2+mx-2 ight)=0Leftrightarrow

*

Do nhì phương trình tương tự nên $x=-2$ cũng chính là nghiệm của phương trình $left( 1 ight)$.

Thay $x=-2$ vào $left( 1 ight)$, ta được $2left( -2 ight)^2+mleft( -2 ight)-2=0Leftrightarrow m=3$.

Với $m=3$, ta có

$ullet $ $left( 1 ight)$ biến hóa $2x^2+3x-2=0Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=frac12.$

$ullet $ $left( 2 ight)$ biến chuyển $2x^3+7x^2+4x-4=0Leftrightarrow left( x+2 ight)^2left( 2x+1 ight)=0$ $Leftrightarrow x=-2$hoặc $x=frac12$.

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=3$ thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 5: Tìm tất cả các quý hiếm thực của thông số $m$ để cặp phương trình sau tương đương:

$mx^2-2left( m-1 ight)x+m-2=0$ $left( 1 ight)$ và $left( m-2 ight)x^2-3x+m^2-15=0$ $left( 2 ight)$ .

Xem thêm: Năm 2021 Tuổi Mão Hợp Màu Gì, Tuổi Mão Hợp Với Màu Gì Và Kỵ Màu Sắc Nào Nhất

A. $m=-5.$ B. $m=-5; ext m=4.$ C. $m=4.$ D. $m=5.$

Giải:

Ta có 

*

Do nhì phương trình tương tự nên $x=1$ cũng là nghiệm của phương trình $left( 2 ight)$.

Thay $x=1$ vào $left( 2 ight)$, ta được 

*

Với $m=-5$, ta gồm

· $left( 1 ight)$ biến hóa $-5x^2+12x-7=0Leftrightarrow x=frac75$ hoặc $x=1$.

· $left( 2 ight)$ trở nên $-7x^2-3x+10=0Leftrightarrow x=-frac107$ hoặc $x=1$.

Suy ra nhị phương trình ko tương đương

Với $m=4$, ta có

· $left( 1 ight)$ đổi mới $4x^2-6x+2=0Leftrightarrow x=frac12$ hoặc $x=1$.

· $left( 2 ight)$ vươn lên là $2x^2-3x+1=0Leftrightarrow x=frac12$ hoặc $x=1$.

Suy ra nhì phương trình tương đương. Vậy $m=4$ thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 6: Khẳng định làm sao sau đây là sai?

A. B.

C. D.

Giải:

Ta có:

*
 

Do đó, phương trình $8x^2-4x-5=0$ không hẳn là hệ quả của phương trình $left| 3x-2 ight|=x-3$.

Chọn C

Câu 7: Cho phương trình $2x^2-x=0$. Trong những phương trình sau đây, phương trình nào không hẳn là hệ trái của phương trình đã cho?

A. <2x-fracx1-x=0.> B. <4x^3-x=0.>

C. D. <2x^3+x^2-x=0.>

Giải:

. Ta có 

*

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng $S_0=left 0;frac12 ight$.

Xét những đáp án:

Ÿ Đáp án A. Ta có 

*
 

Do đó, tập nghiệm của phương trình là $S_1=left 0;frac12 ight\supset S_0$.

Ÿ Đáp án B. Ta có 

*
 

Do đó, tập nghiệm của phương trình là $S_2=left -frac12;0;frac12 ight\supset S_0$.

Ÿ Đáp án C. Ta có 

*
 

(vô nghiệm). Vày đó, tập nghiệm của phương trình là

Ÿ Đáp án D. Ta có 

*
 

Do đó, tập nghiệm của phương trình là $S_2=left -1;0;frac12 ight\supset S_0$.

Chọn C

Câu 8: Cho hai phương trình: $xleft( x-2 ight)=3left( x-2 ight) left( 1 ight)$ cùng $fracxleft( x-2 ight)x-2=3 left( 2 ight)$. Xác định nào sau đó là đúng?

A. Phương trình $left( 1 ight)$ là hệ quả của phương trình $left( 2 ight)$.

B. Phương trình $left( 1 ight)$ cùng $left( 2 ight)$ là nhì phương trình tương đương.

C. Phương trình $left( 2 ight)$ là hệ trái của phương trình $left( 1 ight)$.

D. Cả A, B, C phần lớn sai.

Giải:

Ÿ Phương trình 

*

Do đó, tập nghiệm của phương trình $left( 1 ight)$ là $S_1=left 2;3 ight$.

Ÿ Phương trình 

*
 

Do đó, tập nghiệm của phương trình $left( 2 ight)$ là $S_2=3$.

Vì $S_2subset S_1$ bắt buộc phương trình $left( 1 ight)$ là hệ trái của phương trình $left( 2 ight)$.

Chọn A.

C. Bài xích tập trường đoản cú luyện

Câu 1. hai phương trình được điện thoại tư vấn là tương đương khi

A. Tất cả cùng dạng phương trình. B. Tất cả cùng tập xác định.

C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C phần đông đúng.

Câu 2. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình $x^2-4=0$?

A. $left( 2+x ight)left( -x^2+2x+1 ight)=0.$ B. $left( x-2 ight)left( x^2+3x+2 ight)=0.$

C. $sqrtx^2-3=1.$ D. $x^2-4x+4=0.$

Câu 3. Phương trình nào dưới đây tương đương cùng với phương trình $x^2-3x=0$?

A. B.

C. D.

Câu 4. cho phương trình $left( x^2+1 ight)left( x1 ight)left( x+1 ight)=0$. Phương trình nào tiếp sau đây tương đương cùng với phương trình sẽ cho ?

A. B. C. D. $left( x1 ight)left( x+1 ight)=0.$

Câu 5.

Xem thêm: Lời Chúc Thi Tốt Bằng Tiếng Trung, Pháp, Nhật, Hàn, Tây Ban Nha

Phương trình nào tiếp sau đây không tương đương với phương trình ?

A. B.

C. D. <7+sqrt6x-1=-18.>

Câu 6. xác minh nào sau đấy là đúng?

A. <3x+sqrtx-2=x^2Leftrightarrow 3x=x^2-sqrtx-2.> B.

C. <3x+sqrtx-2=x^2+sqrtx-2Leftrightarrow 3x=x^2 ext.> D. $frac2x-3sqrtx-1=sqrtx-1Leftrightarrow 2x-3=left( x-1 ight)^2.$