Lim e^x khi x tiến tới vô cùng
Cho khoảng K chứa điểm ${x_o}$ và hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên K hoặc $K\backslash \left\{ {{x_o}} \right\}$.
Ta nói hàm số$y = f\left( x \right)$ có giới hạn là số L khi x dần tới ${x_o}$nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} \to {x_0}$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$.
Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( x \right) = L$ hay $f\left( x \right) = L$ khi $x \to {x_o}$.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
* Định lí 1
a) Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( x \right) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} g\left( x \right) = M$. Khi đó:
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left< {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right> = L + M\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left< {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right> = L - M\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left< {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right> = L.M\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left< {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right> = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right) \end{array}$.
b) Nếu ${f\left( x \right) \ge 0}$ và$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( x \right) = L$, thì:
$L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L$
(Dấu của $f\left( x \right)$ được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với $x \ne {x_o}$).
3, Giới hạn một bên
* Định nghĩa
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {{x_o};b} \right)$.
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số $y = f\left( x \right)$ khi $x \to {x_o}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_0}
Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$.
Cho hàm số$y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;{x_o}} \right)$.
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y = f\left( x \right)$ $x \to {x_o}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, $a ${x_n} \to {x_0}$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$..
Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L$.
* Định lí 2
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$.
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
* Định nghĩa
a) Cho hàm số$y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$.
Bạn đang xem: Lim e^x khi x tiến tới vô cùng
Xem thêm: Cảm Nhận Của Em Về Nhân Vật Ông Hai Trong Truyện Ngắn Làng Của Kim Lân (13 Mẫu)
Xem thêm: Gợi Ý 10 Thực Đơn Mâm Cơm Mùa Hè Miền Bắc Cho Những Ngày Nắng Nóng Oi Ả
Ta nói hàm số$y = f\left( x \right)$ có giới hạn là L khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} > a$ và ${x_n} \to + \infty$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$.
Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$ hay $f\left( x \right) \to L$ khi $x \to + \infty$.
b) Cho hàm số$y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( { - \infty ;a} \right)$.
Ta nói hàm số$y = f\left( x \right)$ có giới hạn là L khi $x \to - \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} $f\left( {{x_n}} \right) \to L$.
Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L$ hay$f\left( x \right) \to L$ khi $x \to - \infty$.
III. Giới hạn vô cực của hàm số
1. Giới hạn vô cực
* Định nghĩa
Cho hàm số$y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng$\left( {a; + \infty } \right)$.
Ta nói hàm số$y = f\left( x \right)$ có giới hạn là $ - \infty$ khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} > a$ và ${x_n} \to + \infty$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to - \infty$.
Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty$ hay $f\left( x \right) \to - \infty$ khi $x \to + \infty$.
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty$ với k nguyên dương.
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty$ nếu k là số lẻ.
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty$ nếu k là số chẵn.
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích $f\left( x \right).g\left( x \right)$
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$
