Nguyên hàm 1/x

     

1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K trường hợp F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.Bạn sẽ xem: Nguyên hàm 1 x

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 3 tính chất quan trọng cần nhớ:


*

*

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi đổi mới tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong các số đó φ(x) là hàm số nhưng mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: bộc lộ f(x)dx = gφ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = – 3sinx.dxBước 3: thể hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dị 1


*

c) Đổi biến tấu 2


*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần


Nguyên tắc chung để đặt u cùng dv: tìm kiếm được v dễ dãi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: lắp thêm tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Bạn đang xem: Nguyên hàm 1/x

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tìm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn bí quyết bấm máy vi tính nguyên hàm cấp tốc theo 3 bước sau:

Bước 1: nhận shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight)_x = X – fleft( X ight)$

Bước 2: dìm phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì chính là đáp án đề nghị chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm vật dụng tính

Bước 1: Nhập vào laptop casio $fracddxleft( frac12.ln left( ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong tác dụng A cùng C nếu mang lại X = 2 thì mọi cho kết quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối hoàn hảo thì đến X một giá trị mang đến biểu thức vào trị tuyệt đối âm.

Xem thêm: Về Các Đới Khí Hậu Trên Trái Đất (New 2021), 7 Đới Khí Hậu Chính Trên Trái Đất

Kết luận: Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Hướng Dẫn Sử Dụng Máy Vắt Sổ Công Nghiệp Sử Dụng Và Bảo Dưỡng Như Thế Nào?

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Cách 2: Sử dụng phương thức hệ số bất định, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong các số ấy $A(x)$ cùng $B(x)$ là các đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được $A(x)$ và $B(x).$

Nhận xét: trường hợp bậc của đa thức to hơn $3$ thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì lúc ấy ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của đa thức, vì vậy ta đi đến đánh giá như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ hơn hoặc bởi $2$: Ta áp dụng cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bởi $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài bác tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dìm xét trên, ta sử dụng phương thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = cosx$$ – sin x$ $(2).$

Đồng nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$