Nguyên hàm cos^2
Nguyên hàm lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán cấp 3. Các công thức nguyên hàm lượng giác có nhiều mức độ, từ hàm sơ cấp cho đến các công thức hàm hợp, theo đó là rất nhiều dạng bài tập khác nhau. goodsmart.com.vn Education sẽ tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng bài tập vận dụng liên quan qua bài viết sau.
Bạn đang xem: Nguyên hàm cos^2
\begin{aligned}&\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\\& \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\\& \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\\& \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\\&\small\text{2. Công thức cộng:}\\& \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\\& \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\\& \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\\&\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\\& \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\\& \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\\&\small\text{4. Công thức nhân ba:}\\& \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\\& \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\\&\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\\& \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\\& \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\&\small\text{6.Công thức biến đổi tích thành tổng:}\\& \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2} Các bài toán tìm nguyên hàm lượng giác rất đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có cách biến đổi và hướng giải khác nhau. Vì vậy, goodsmart.com.vn Education đã tổng hợp 6 dạng toán thường gặp nhất và phương pháp giải của từng dạng để giúp các em nắm vững các bài toán dạng này. \begin{aligned}&\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\\&\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\\\end{aligned} I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}
Bất Đẳng Thức Là Gì? Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Toán 10 Đầy Đủ, Chi Tiết
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = u(x)
6 dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1
\begin{aligned}&\text{Dùng đồng nhất thức:}\\&1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin<(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\\&\text{Từ đó suy ra:}\\&I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\\&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left< \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right>dx\\&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau đây:
Bài giải:
\begin{aligned}&\text{Ta có:}\\&1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left<\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right>}{\frac{1}{2}}=2\leftDạng 2
I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
Phương pháp giải:
\begin{aligned}&\text{Ta có:}\\& tan(x+a)tan(x+b)\\&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\\&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\&=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\\&\text{Từ đó:}\\&I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\&\text{Đến đây, ta gặp bài toán tìm nguyên hàm lượng giác ở \textbf{Dạng 1}.}\end{aligned}
\begin{aligned}&\text{Ta có:}\\&tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)- cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\&=\frac{sin\left< \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right>}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\&=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\&\text{Từ đó:}\\&K=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx+\int dx\\&\ \ \ \ =\frac{1}{2}K_1+x+C\\&\text{Đến đây, bằng cách tính ở dạng 1, ta tính được:}\\&K_1=\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac{2}{\sqrt3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\\&\text{Suy ra:}\\&K=\frac{\sqrt3}{3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C\end{aligned}Dạng 3
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
Phương pháp giải:
\begin{aligned}&\text{Ta có:}\\&asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\\&\Rightarrow asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha)\\&\Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} ln \left|tan\frac{x+\alpha}{2} \right|+C\end{aligned}
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau:
Bài giải:
Xem thêm: Anh Văn 9 Unit 2 Read - Tiếng Anh Lớp 9 Unit 2: Clothing
\begin{aligned}&I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}=\int\frac{dx}{\frac{\sqrt3}{2} sinx+\frac{1}{2}cosx}=\int \frac{dx}{sinxcos\frac{\pi}{6}+cosxsin\frac{\pi}{6}}\\& \ \ =\int \frac{dx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=ln\left| tan\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2} \right|+C=ln\left| tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right) \right|+C\end{aligned}Dạng 4
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
Phương pháp giải:
\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau đây:
K=\int\frac{dx}{sinx+tanx}
Bài giải:
\begin{aligned}&\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}\\&\text{Từ đó:}\\&K=\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{1-t^2}{t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}\int tdt\\&\ \ \ = \frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}t^2+C= \frac{1}{2}ln\left|tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}tan^2\frac{x}{2}+C\end{aligned}
Dạng 5
I=\int\frac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x}
Phương pháp giải:
\begin{aligned}&I=\int\frac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\\&\text{Đặt }tanx=t\Rightarrow \frac{dx}{cos^2x}=dt\\&\text{Suy ra: }I=\int \frac{dt}{at^2+bt+c}\end{aligned}
Ví dụ:Tính nguyên hàm dưới đây:
J=\int \frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x}
Bài giải:
\begin{aligned}&\text{Đặt }tanx=t \Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\&\Rightarrow J=\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=\int \frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{t-1-\sqrt3}{t-1+\sqrt3} \right|+C\\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{tanx-1-\sqrt3}{tanx-1+\sqrt3} \right|+C\end{aligned}
Dạng 6
I=\int\frac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx
Phương pháp giải:
\begin{aligned}&\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\&a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx)\end{aligned}
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau:
I=\int\frac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx
Bài giải:
\begin{aligned}&\text{Ta tìm A, B sao cho:}\\&4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\\&\Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx \Rightarrow\begin{cases} A-2B=4\\2A+B=3\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} A=2\\B=-1\end{cases} \\&\text{Từ đó:}\\&I=\int\frac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\\& \ \ =2\int dx-\int \frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\\& \ \ =2x-ln|sinx+cos2x|+C\end{aligned}
\begin{aligned}& Ta\space có:\space sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3x.d(sinx)\\& Đặt\space u=sinx\space ta\space được:\\& I=\lmoustache sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3d(sinx)\\& u^3du=\frac{u^4}{4}+c=\frac{sin^4x}{4}+C\end{aligned}
\begin{aligned}& \intop \frac{cos^5x}{sinx}dx=\intop \frac{(1-sin^2x)^2dsinx}{sinx}=\intop \bigg( \frac{1}{sinx}-2sinx+sin^3x \bigg)dsinx\\&ln|sinx|-sin^2x+\frac{sin^4x}{4}+C\end{aligned}
Xem thêm: Danh Sách Trung Tâm Bảo Hành Tivi Toshiba Trên Toàn Quốc, Trung Tâm Bảo Hành Toshiba Chính Hãng Tại Tphcm
\begin{aligned}&Đặt\space tan\frac{x}{2}=t\\&\rArr \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{cases}\\& Từ\space đó\space, D=\intop \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3.\frac{1-t^2}{1+t^2}+5\frac{2t}{1+t^2}+3}=\frac{2dt}{3-3t^2+10+3t+2t^2}=\intop\frac{2dt}{10t+6}\\&=\frac{1}{5}\intop \frac{d(5t+3)}{5t+3}=\frac{1}{5}ln|5t+3|+C=\frac{1}{5}ln|5tan\frac{x}{2}=3|+C\\\end{aligned}
