Rút gọn biểu thức lượng giác lớp 10

     

Bài trước vẫn học công thức lượng giác, bài xích này sẽ giúp bạn sử dụng công thức một biện pháp linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác trải qua các ví du. Từ bỏ đó nhằm mục đích triệt tiêu những giá trị lượng giác của góc không đặc biệt quan trọng và đưa về giá trị lượng giác sệt biệt.

Thí dụ 1. Rút gọn gàng biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx - cosx - 8cosx.cos$^3$3x.

Bạn đang xem: Rút gọn biểu thức lượng giác lớp 10


Biến đổi biểu thức về dạng:A = cos10x + 1 + cos8x - cosx - 2(4cos$^3$3x - 3cos3x)cosx= 2cos9x.cosx + 1 - cosx - 2cos9x.cosx = 1 - cosx.Nhận xét:
Như vậy, nhằm rút gọn những biểu thức trên họ sử dụng phương pháp hạ bậc dựa trên ý tưởng chủ đạo là đổi khác nó về dạng tổng.Thí dụ 2. Rút gọn những biểu thức:a. A = $frac1 - cos ^2left( fracpi 2 + alpha ight)1 - sin ^2left( fracpi 2 - alpha ight)$ - cot($fracpi 2$ - α).tan(α - $fracpi 2$).b. B = $fracsin ^42x + cos ^42x an (fracpi 4 - x). an (fracpi 4 + x)$.
a. Biến hóa A về dạng:A = $frac1 - sin ^2alpha 1 - cos ^2alpha $ + tanα.cotα = $fraccos ^2alpha sin ^2alpha $ + 1 = $fraccos ^2alpha + sin ^2alpha sin ^2alpha $ = $frac1sin ^2alpha $.b. Thay đổi B về dạng:B = $frac(sin ^22x + cos ^22x)^2 - 2sin ^22x.cos ^22x an (fracpi 4 - x).cot (fracpi 4 - x)>$ = 1 - $frac12$sin24x.Nhận xét: Như vậy, nhằm rút gọn các biểu thức trên bọn họ chỉ việc thực hiện mối tương tác giữa các góc sệt biệt.Thí dụ 3.
Rút gọn gàng biểu thức: A = $fracsin x + sin 3x + sin 5xcos x + cos 3x + cos 5x$.
Ta theo thứ tự có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1)cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x - 1). (2)Từ (1) cùng (2) suy ra: A = $fracsin 3xcos 3x$ = tan3x.Nhận xét:
Đương nhiên, chúng ta cũng có thể trình bày theo kiểu chuyển đổi đồng thời TS cùng MS. Cách trình bày như trên bao gồm tính minh hoạ để những em học viên lấy nó áp dụng cho đông đảo biểu thức nhưng mà độ phức tạp trong những phép thay đổi cho TS với MS không giống nhau.Thí dụ 4. Rút gọn những biểu thức:a. A = $left( frac1cos 2x + 1 ight)$.tanx. B. B = cos8x.cot4x - $fraccot ^22x - 12cot 2x$.
a. Ta biến hóa đổi: A = $frac1 + cos 2xcos 2x$.tanx = $frac2cos ^2xcos 2x$.$fracsin xcos x$= $frac2cos x.sin xcos 2x$ = $fracsin 2xcos 2x$ = tan2x.b. Ta biến hóa đổi: B = cos8x.cot4x - $fraccos ^22x - sin ^22x2cos 2x.sin 2x$= cos8x. $fraccos 4xsin 4x$ - $fraccos 4xsin 4x$= (cos8x - 1) $fraccos 4xsin 4x$ = -2sin24x.$fraccos 4xsin 4x$ = -2 sin4x.cos4x = -sin8x.Nhận xét:
Như vậy, nhằm rút gọn những biểu thức tất cả hổn hợp chứa sin, cos cùng tan, cot như trên chúng ta thường đổi khác tan, cot theo sin, cos.Thí dụ 5. Rút gọn những biểu thức:a. A = sin$^2$a + sin$^2$2a + ... + sin$^2$na.b. B = $frac1sin a.sin 2a$ + $frac1sin 2a.sin 3a$ + ... + $frac1sin na.sin (n + 1)a$.
a. Ta biến đổi biểu thức về dạng:A = $frac12$(1 - cos2a) + $frac12$(1 - cos4a) + ... + $frac12$(1 - cos2na)= $fracn2$ - $frac12$(cos2a + cos4a + ... + cos2na).Xét nhị trường hợp
:Trường hòa hợp 1: nếu như a = kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì: cos2a = cos4a = ... = cos2na = 1 ⇒ D = 0.Trường hòa hợp 2: giả dụ a ≠ kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì ta tính được tổng: T = cos2a + cos4a + ... + cos2na = $fraccos (n + 1)a.sin nasin a$Từ đó, suy ra: A = $fracn2$ - $fraccos (n + 1)a.sin na2sin a$.b. Nhân cả nhì vế của biểu thức cùng với sina, ta được:B.sina = $fracsin asin a.sin 2a$ + $fracsin asin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin asin na.sin (n + 1)a$= $fracsin (2a - a)sin a.sin 2a$ + $fracsin (3a - 2a)sin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin <(n + 1)a - na>sin na.sin (n + 1)a$= cota - cot2a + cot2a - cot3a + … + cotna - cot(n + 1)a= cota - cot(n + 1)a = $fracsin nasin a.sin (n + 1)a$⇔ B = $fracsin nasin ^2a.sin (n + 1)a$.Thí dụ 6.

Xem thêm: Uống Sữa Tươi Mật Ong Tăng Cân, Uống Sữa Tươi Với Mật Ong Có Công Dụng Gì

Rút gọn biểu thức A = $frac1sin a$ + $frac1sin 2a$ + ... + $frac1sin 2^na$.
Ta có: $frac1sin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^ka - cos 2^kasin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^kasin 2^ka$ - $fraccos 2^kasin 2^ka$= $frac2cos ^22^k - 1a2sin 2^k - 1a.cos 2^k - 1a$ - cot$^2k$a = cot2$^k-1$a - cot2$^k$a.Suy ra: A = cot$fraca2$ - cota + cota - cot2a + ... + cot$^2n-1$a - cot$^2n$a = cot$fraca2$ - cot2$^n$a.Thí dụ 7.
Rút gọn biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tan(n - 1)a.tanna.
Ta có: tana = tan<(k + 1) - k>a = $frac an (k + 1)a - an ka1 + an (k + 1)a. an ka$⇔ tanka.tan(k + 1)a = $frac an (k + 1)a - an ka an a$ - 1,do đó: tana.tan2a = $frac an 2a - an a an a$ - 1; tan2a.tan3a = $frac an 3a - an 2a an a$ - 1...tan(n - 1)a.tanna = $frac an na - an (n - 1)a an a$ - 1suy ra: A = $frac an mãng cầu - an a an a$ - (n - 1) = $frac an na an a$ - n.Chú ý:
kết quả của vấn đề trên được thực hiện để dễ dàng biểu thức: A = $frac1cos a.cos 2a$ + $frac1cos 2a.cos 3a$ + ... + $frac1cos na.cos (n + 1)a$.Thật vậy, ví như nhân cả nhì vế của đẳng thức cùng với cosa, ta được: B.cosa = $fraccos acos a.cos 2a$ + $fraccos acos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos acos na.cos (n + 1)a$= $fraccos (2a - a)cos a.cos 2a$ + $fraccos (3a - 2a)cos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos <(n + 1)a - na>cos na.cos (n + 1)a$= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + ... + 1 + tanna.tan(n + 1)a= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tanna.tan(n + 1)a= n + $frac an (n + 1)a an a$ - n - 1 = $frac an (n + 1)a an a$ - 1.Tuy nhiên, hoàn toàn có thể sử dụng sina để nhấn được giải mã độc lập.Thí dụ 8. Rút gọn biểu thức A = tana + $frac12$tan$fraca2$ + ... + $frac12^n$tan$fraca2^n$.
Nhận xét rằng:cotx - tanx = $fraccos ^2x - sin ^2xsin x.cos x$ = $frac2cos 2xsin 2x$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx - 2cot2x.Từ đó, ta có những kết quả: tana = cota - 2cot2a, $frac12$tan$fraca2$ = $frac12$cot$fraca2$ - cota,…$frac12^n$tan$fraca2^n$ = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - $frac12^n - 1$cot$fraca2^n - 1$.Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được A = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - 2cot2a.Thí dụ 9.
Rút gọn gàng biểu thức A = $fracsqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x $, với - $fracpi 4$ A = $frac(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )^2(sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x )(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )$= $frac1 + sin 2x + 2sqrt 1 - sin ^22x + 1 - sin 2x1 + sin 2x - 1 + sin 2x$= $frac1 + sqrt cos ^22x sin 2x$ = $fraccos 2xsin 2x$$mathop = limits^{ - fracpi 4 Chú ý: fan ta có thể sử dụng kết quả của lấy một ví dụ trên để tạo nên những yêu mong khá thú vị, để minh hạo ta xét đòi hỏi:“Cho t ∈ <-1; 1> cùng thoả mãn tanx = $fracsqrt 1 + t + sqrt 1 - t sqrt 1 + t - sqrt 1 - t $. Chứng tỏ rằng t = sin2x”.Trước hết: tanx = $frac(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )^2(sqrt 1 + t - sqrt 1 - t )(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )$ = $frac1 + sqrt 1 - t^2 t$.Mặt khác: sin2x = $frac2 an x1 + an ^2x$ = $frac2.frac1 + sqrt 1 - t^2 t1 + left( frac1 + sqrt 1 - t^2 t ight)^2$ = $frac2(1 + sqrt 1 - t^2 )t2(1 + sqrt 1 - t^2 )$ = t.Chú ý: trong các bài toán thi bọn họ thường gặp phải yêu cầu "Chứng minh đẳng thức lượng giác tự do với vươn lên là số".Thí dụ 10. chứng tỏ biểu thức sau không nhờ vào vào x: A = cos$^2$(x - $fracpi 3$) + cos2x + cos2(x + $fracpi 3$).
Ta rất có thể lựa chọn 1 trong nhì cách biến đổi sau:Cách 1:
Ta đổi thay đổi:A = (cosx.cos$fracpi 3$ + sinx.sin$fracpi 3$)2 + cos2x + (cosx.cos$fracpi 3$ - sinx.sin$fracpi 3$)2= ($frac12$cosx + $fracsqrt 3 2$sinx)2 + cos2x + ($frac12$cosx - $fracsqrt 3 2$sinx)2= $frac12$cos$^2$x + $frac32$sin$^2$x + cos$^2$x = $frac32$(sin$^2$x + cos$^2$x) = $frac32$.Vậy, biểu thức A không phụ thuộc vào vào x.Cách 2: Ta biến hóa đổi:A = $frac12$<1 + cos(2x - $frac2pi 3$)> + cos2x + $frac12$<1 + cos(2x + $frac2pi 3$)>= 1 + cos2x + $frac12$= 1 + cos2x + cos2x.cos$frac2pi 3$ = 1 + cos2x - $frac12$(2cos2x - 1) = $frac32$.Thí dụ 11. xác minh a ∈ (0; $fracpi 2$) để biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cosx + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) + cos(x + 6a).

Xem thêm: Soạn Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 5: Văn Lập Luận Chứng Minh, Bài Viết Số 5 Lớp 7: Đề 1 Đến Đề 5 (42 Mẫu)


Ta biến chuyển đổi:A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) = 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a).Để biểu thức không phụ thuộc vào x điều kiện là:cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π - a) = 0⇔ $left< eginarrayl3a = pi - a + 2kpi \3a = - pi + a + 2kpi endarray ight.$⇔ $left< eginarrayla = fracpi 4 + frackpi 2\a = - fracpi 2 + kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^a in (0,,fracpi 2) $ a = $fracpi 4$.Vậy, với a = $fracpi 4$ biểu thức không nhờ vào vào x.
*
bản đầy đủ: những dạng toán lớp 10