Thể Tích Khối Tứ Diện

     

Bài viết này goodsmart.com.vn tổng phù hợp và trình làng lại một số trong những công thức tính cấp tốc thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp quan trọng hay gặp

https://www.goodsmart.com.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn công thức tổng quát tính thể tích mang đến khối tứ diện bất kể khi biết độ dài toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ những công thức này giúp các em giải quyết và xử lý nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT đất nước 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Thể tích khối tứ diện

Bài viết này trích lược một trong những công thức cấp tốc hay sử dụng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện cùng thể tích khối lăng trụ chúng ta đọc xem thêm khoá full bộ X vị goodsmart.com.vn thành lập tại đây:https://www.goodsmart.com.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta tất cả công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong các số đó <eginalign & M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ và N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ và P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ & Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện hồ hết cạnh $a,$ ta bao gồm $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều sở hữu chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã đến là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện hồ hết cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện phần đa là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn giải đáp B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ song một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta tất cả $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương xứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta bao gồm

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã mang đến bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta tất cả $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ call $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng giải pháp từ điểm $A$ mang đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ có $CD=8$ và theo công thức đường trung tuyến đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ cho nên $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng cách làm tính thể tích khối tứ diện gần phần lớn có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn giải đáp C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc thân cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ bao gồm $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ cùng $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho nhị mặt mong $(S_1),(S_2)$ có cùng tâm $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ tất cả hai đỉnh $A,B$ nằm ở $(S_1);$ nhì đỉnh $C,D$ nằm trong $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo lần lượt là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta bao gồm $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ cùng $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng tầm cách chéo nhau của cặp cạnh đối lập có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bằng đạt tại $(a;b)=(1;2).$ Chọn giải đáp D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ tất cả thiết diện qua trục là một hình vuông vắn cạnh bằng $a.$ biết rằng $AB$ với $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy và góc giữa hai tuyến đường thẳng $AB$ với $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn giải đáp C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai phương diện kề nhau

*

Ví dụ 1: mang đến khối chóp $S.ABC$ gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc thân hai khía cạnh phẳng $(SAB)$ cùng $(SAC)$ bởi $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $a^3.$

B.

Xem thêm: Sau Khi Đắp Mặt Nạ Xong Có Nên Bôi Kem Không ? Đắp Mặt Nạ Xong Có Nên Bôi Kem Dưỡng Da

$fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải đưa ra tiết. điện thoại tư vấn $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta bao gồm $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn giải đáp D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. hotline $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta có $left{ egingathered CB ot ba hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết thích hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ ở bên cạnh $SA$ vuông góc với đáy với góc thân hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bởi $60^0,$ khi đó $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) cùng (2) suy ra Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: cho tứ diện $ABCD$ gồm $ABC$ và $ABD$ là tam giác gần như cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn giải đáp A.

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.A"B"C"$ có diện tích tam giác $A"BC$ bằng $4,$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$ bằng $3,$ góc thân hai phương diện phẳng $left( A"BC ight)$ cùng $left( A"B"C" ight)$ bởi $30^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A"B"C"$ bằng

A. $3sqrt3.$ B.$6.$ C.$2.$ D.$12.$

Giải. Áp dụng bí quyết tính thể tích tứ diện mang đến trường thích hợp biết góc và mặc tích của nhì mặt

$V_ABC.A"B"C"=3V_A".ABC=3left( dfrac2S_A"BC.S_ABC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)3BC ight)$

$=dfracS_A"BC.dleft( A,BC ight).BC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)BC=S_A"BC.dleft( A,BC ight).sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)=4.3.dfrac12=6.$ Chọn câu trả lời B.

Công thức 6:Mở rộng mang đến khối chóp có diện tích s mặt bên và mặt đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ tất cả $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ gồm $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Phân Tích 14 Câu Tiếp Bài Trao Duyên Trong Truyện Kiều Của Nguyễn Du

Tứ diện này còn có độ dài toàn bộ các cạnh ta tính các góc trên một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc xuất phát từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn đáp án B.

*