Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm

     

Viết phương trình đường thẳng đi sang 1 điểm, giảm và vuông góc với mặt đường thẳng

Với Viết phương trình mặt đường thẳng đi qua một điểm, giảm và vuông góc với đường thẳng Toán lớp 12 tất cả đầy đủ phương thức giải, lấy một ví dụ minh họa và bài bác tập trắc nghiệm tất cả lời giải chi tiết sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài xích tập Viết phương trình đường thẳng đi sang một điểm, cắt và vuông góc với con đường thẳng từ kia đạt điểm trên cao trong bài xích thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm

*

A. Phương pháp giải

Gọi giao điểm của mặt đường thẳng d và d1 là B.

+ bởi B thuộc con đường thẳng d1 nên tọa độ B gồm dạng... ( theo tham số t).

=> Tọa độ AB→

+ xác định vecto chỉ phương u1→ của mặt đường thẳng d1.

+ vày đường thẳng d vuông góc với mặt đường thẳng d1 đề nghị

=>

*

=>Phương trình ẩn t ....=> t= ...

=> Tọa độ điểm B.

+ Viết phương trình mặt đường thẳng d trải qua hai điểm A với B.

B. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho con đường thẳng d1 bao gồm phương trình tham số:

*
cùng điểm A(0;1; 0). Phương trình tham số con đường thẳng d trải qua điểm A mặt khác vuông góc và giảm đường thẳng d1 là:

A.

B.

*

C.

*

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+Đường thẳng d1 gồm vecto chỉ phương là:

*

Gọi giao điểm của con đường thẳng d cùng d1 là B.

+ vị B thuộc đường thẳng d1 đề nghị tọa độ B tất cả dạng B( -3;1-t;2t)

=>

*

Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 phải ta có:

*
⇔ 0. (-3) – 1( - t) + 2.2t= 0 ⇔ 5t= 0 ⇔ t= 0

Suy ra tọa độ B( - 3; 1; 0)

+ Đường thẳng yêu cầu tìm đó là đường thẳng AB: trải qua A( 0;1; 0) và tất cả vecto chỉ phương:

*

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 2. đến điểm A( -1; -2; 3) và con đường thẳng d:

*
. Đường thẳng Δ đi qua cắt với vuông góc với mặt đường thẳng d. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ

A . ( 4; 4; 0)

B. (2; -2; 1)

C. ( 2;4; 1)

D. ( 3; -3;0)

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d với Δ là M

Khi kia :

*

Đường trực tiếp d có vecto chỉ phương là:

*

Khi kia :

*
⇔ 1. 2t+ 1( 3+ 2t) – 2( - 4t- 3) =0

⇔ 2t+ 3+ 2t+ 8t+ 6 = 0⇔ 12t + 9= 0

⇔ t= (-3)/4

Suy ra

*
là 1 vecto chỉ phương của mặt đường thẳng d.

Chọn D.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A(1; 0;2) và con đường thẳng d gồm phương trình

*
. Viết phương trình mặt đường thẳng Δ trải qua A vuông góc và cắt d

A.

*

B.

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Ta có

*
là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi :

*

Do

*

⇔t+t+2(2t-3)=0⇔6t-6=0 yêu cầu t=1⇒

Đường thẳng Δ đi qua A và nhận làm cho vectơ chỉ phương nên tất cả phương trình

Chọn B.

Ví dụ 4. đến đường trực tiếp Δ có phương trình bao gồm tắc:

*
; điểm A(-1;2; 0) . Đường trực tiếp d đi qua điểm A mặt khác vuông góc và giảm đường thẳng Δ tại điểm bao gồm tọa độ là?

A.

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

+ Ta có đường trực tiếp Δ có vecto chỉ phương

*

Gọi giao điểm của đường thẳng d cùng Δ là B.

+ bởi B thuộc con đường thẳng Δ cần tọa độ B có dạng B( 1+3t; -1-2t; t)

=>

*

+ vị

*
⇔ 3( 2+ 3t) – 2( - 3 -2t) + 1. T= 0

⇔ 6+ 9t + 6 + 4t + t= 0

⇔ 14t+ 12= 0 ⇔ t= (- 6)/7

=> Tọa độ giao điểm của d và Δ là

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; đến điểm M( 1;1;1) và con đường thẳng d trải qua hai điểm A(1; 2;0) cùng B(-1;3;3). Call Δ là đưởng trực tiếp qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường trực tiếp d với Δ cắt nhau trên

*
. Tính a+ b ?

A. 16

B. – 10

C. 18

D. -8

Hướng dẫn giải

+ Đường trực tiếp d trải qua hai điểm A( 1;2;0) với B( -1; 3;3) yêu cầu đường thẳng này dấn vecto

*
làm vecto chỉ phương

=> Phương trình mặt đường thẳng d:

*

+ hotline N là giao điểm của Δ với d.

Do N thuộc mặt đường thẳng d cần tọa độ N( 1- 2t; 2+ t; 3t)

=>

*

+ vày

*

⇔ - 2. (-2t) + 1. ( 1+ t) + 3( 3t-1) = 0⇔ 4t+ 1+ t+ 9t – 3 = 0⇔ 14t - 2= 0 ⇔ t= 1/7

=> Tọa độ điểm

*

=> a= 15 và b= 3 đề xuất a+ b= 18

Chon C.

Ví dụ 6: mang lại điểm A (-4; -2; 4) và con đường thẳng

*
. Viết phương trình con đường thẳng d trải qua A, cắt và vuông góc với mặt đường thẳng d1

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Hướng dẫn giải

Chọn A cách 1:

- mặt phẳng (P) trải qua điểm A và vuông góc với con đường thẳng d1 tất cả vectơ pháp con đường là

*

Phương trình phương diện phẳng (P) là:2.(x + 4) – 1 . (y + 2) + 4. (z – 4) = 0 giỏi 2x – y + 4z – 10 = 0

- call giao điểm của ( P) và d1 là B( -3+ 2t; 1- t; - 1+ 4t) .

Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được:2( -3+ 2t)- ( 1-t)+ 4(- 1+4t) – 10= 0 ⇔ - 6+ 4t – 1+ t – 4+ 16t – 10=0⇔ 21t – 21= 0 ⇔ t= 1 => B (-1; 0; 3)

- Đường thẳng phải tìm là đường thẳng trải qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

*

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 2:

Vecto chỉ phương của mặt đường thẳng d1 là:

*

Gọi B là giao điểm của d và d1, vị d vuông góc cùng với d1 phải

Tọa độ của B (-3+2t; 1-t;-1+4t)

=>

*

⇔2(1+2t)-(3-t)+4(-5+4t)=0

⇔t=1

=>

*

Vậy phương trình của d là :

Ví dụ 7: mang đến điểm A (2; 3; -1) và con đường thẳng

*
. Đường trực tiếp d trải qua A, giảm và vuông góc với mặt đường thẳng d1. Trong số vecto sau vecto nào không là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng d?

A ( 6; 5; -32)

B. ( 6; -5; 16)

C. ( - 12; -10; 64)

D. ( -18; -15; 96)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương

*

+ gọi B là giao điểm của d và d1, do d vuông góc với d1 yêu cầu

Tọa độ của B (2t; 4t;3+t)

=>

*

+

*
⇔t=4/7

=>

*

+ Ta thấy những vecto trong các phương án A; C; D thuộc phương với vecto AB→ nên các vecto trong số phương án A; C với D cũng là vecto chỉ phương của con đường thẳng d.

Chọn B.

Ví dụ 8:Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; mang lại đường thẳng d đi qua hai điểm O với M( 1; 2; -1). Phương trình chính tắc của con đường thẳng đi qua điểm A(-1;2;-1), cắt và vuông góc cùng với d là:

A.

*

B.

*

C.

*

D.

Hướng dẫn giải

+ gọi Δ là con đường thẳng buộc phải tìm. Call giao điểm của d và Δ là B.

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm O cùng M (1; 2; -1) cần đường thẳng này nhấn vecto

*
làm vecto chỉ phương.

Xem thêm: Xem Vận Hạn Tuổi Canh Tuất Năm 2017 Cho Tuổi Canh Tuất 1970, Xem Vận Hạn 2017 Tuổi Canh Tuất Nam Mạng

=> Phương trình mặt đường thẳng d:

*

+ vì chưng B trực thuộc d cần tọa độ B( t; 2t; - t) =>

*

+ Đường thẳng d bao gồm vectơ chỉ phương

*

+ vì chưng

*
⇔ t+ 1 + 4t – 4- 1+ t= 0 ⇔ 6t – 4= 0 cần t= 2/3

+ Đường thẳng Δ trải qua điểm A( -1;2; -1) và bao gồm vectơ chỉ phương

*

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt đường thẳng Δ phía bên trong mặt phẳng (P): 2x+ y- z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường thẳng

*
. Phương trình đường thẳng Δ là:

A.

*

B.

*

C.

D.

*

Hướng dẫn giải

Gọi

*

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được: ⇒2t-2+t-(2-2t)-1=0⇔5t-5=0⇔ t=1⇒M(1;-1;0)∈Δ.

Ta có Vecto pháp đường của (P) là :

*

Vecto chỉ phương của con đường thẳng d là

*

Khi đó

*

⇒.

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Cho con đường thẳng d1 bao gồm phương trình tham số:

*
cùng điểm A(0; 1; 2). Phương trình tham số đường thẳng d trải qua điểm A đồng thời vuông góc và giảm đường thẳng d1 là:

A.

*

B.

C.

*

D. Đáp án khác

Lời giải:

+Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là:

*

Gọi giao điểm của con đường thẳng d với d1 là B.

+ bởi vì B thuộc con đường thẳng d1 yêu cầu tọa độ B tất cả dạng B(-t; 2t; -1-t)

=>

*

Vì con đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 đề xuất ta có: ⇔

*

⇔ - 1( - t) + 2( 2t- 1) – 1( - 3- t) = 0

⇔ t+ 4t- 2+ 3+ t= 0 ⇔ 6t+ 1= 0 ⇔ t= (- 1)/6

Suy ra tọa độ

*

+ Đường thẳng phải tìm đó là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 2) và tất cả vecto chỉ phương:

*

Vậy phương trình thông số của mặt đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 2:

Cho điểm A( -3; 1; 2) và đường thẳng

*
. Đường trực tiếp Δ đi qua cắt cùng vuông góc với mặt đường thẳng d. điện thoại tư vấn giao điểm của con đường thẳng d với Δ là M . Tính AM?

A . 6

B. 8

C.

*

D.

*

Lời giải:

Khi đó

*

Đường trực tiếp d tất cả vecto chỉ phương là:

*

Khi đó

*

⇔ - 2( - 4- 2t) + 1( t- 1) + 1(t- 1)= 0

⇔ 8+ 4t + t- 1+ t- 1= 0 ⇔ 6t + 6= 0

⇔ t= - 1

Suy ra

*

=>

*

Chọn D.

Câu 3:

Trong không khí với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A( - 3;1; -2); B ( 1; 3;0) và mặt đường thẳng d tất cả phương trình

*
. Hotline M là trung điểm AB. Viết phương trình con đường thẳng Δ trải qua M vuông góc và giảm d

A.

*

B.

C.

*

D.

*

Lời giải:

Do M là trung điểm AB buộc phải tọa độ M( - 1; 2; -1).

Ta tất cả

*
là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi

*

Do

*

*

*

Đường trực tiếp Δ đi qua M cùng nhận

*
làm vectơ chỉ phương nên gồm phương trình Δ:

Chọn B.

Câu 4:

Cho mặt đường thẳng Δ gồm phương trình

*
điểm A( -3; -2; 0) . Đường trực tiếp d trải qua điểm A đôi khi vuông góc và giảm đường trực tiếp Δ tại điểm tất cả tọa độ là?A. ( 0; -1; 2)

B. ( -2; -3; 2)

C. (1; 0;2)

D. ( 2; 3; 2)

Lời giải:

+ Ta gồm đường trực tiếp Δ tất cả vecto chỉ phương

*

Gọi giao điểm của mặt đường thẳng d với Δ là B.

+ vì B thuộc mặt đường thẳng Δ phải tọa độ B gồm dạng B( -2t; -1-2t; 2)

=>

*

Do

*
=0

⇔ - 2( -2t+ 3) – 2( 1-2t) + 0.2 = 0

⇔ 4t – 6 – 2 + 4t+ 0 = 0

⇔ 8t- 8= 0 ⇔ t= 1

=> Tọa độ giao điểm của d và Δ là B ( -2; - 3; 2)

Chọn B.

Câu 5:

Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; mang lại điểm M(2; 0;2) và đường thẳng d trải qua hai điểm A(-1; 2;-2) với B(0; -1; 2). Call Δ là đường thẳng qua M vuông góc và giảm d. Hiểu được đường trực tiếp d và Δ cắt nhau tại N . Search hoành độ điểm N?A.(-1)/28

B.(- 1)/18

C. (- 1)/26

D.3/2

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d đi qua hai điểm A và B đề xuất đường thẳng này dìm vecto

*
có tác dụng vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

*

+ hotline N là giao điểm của Δ và d.

Do N thuộc con đường thẳng d nên tọa độ N(-1+ t; 2- 3t; -2+ 4t)

=>

*
vị

*

⇔ 1( -3+ t) – 3( 2- 3t) + 4( - 4+ 4t)= 0

⇔ - 3+ t – 6 +9t – 16 + 16t = 0 ⇔ 26t - 25= 0

⇔ t= 25/26

=> Hoành độ điểm N:

*

Chon C.

Câu 6:

Cho điểm A ( 2;1; 0); B( -1; 2; -1) và C( -2; 0;0). Viết phương trình mặt đường thẳng d trải qua A, cắt và vuông góc với con đường thẳng BC?

A.

*

B.

C.

*

D.

*

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của con đường thẳng BC là:

*

=> Phương trình con đường thẳng BC:

*

+ call D là giao điểm của d và BC, bởi d vuông góc cùng với BC đề xuất

*

Tọa độ của D (-2-t;-2t;t)

=>

*

Do

*

⇔ 4+ t + 4t+ 2 + t= 0 ⇔6t+ 6= 0

⇔t=-1

=>

*

Vậy phương trình của d là :

Chọn B.

Câu 7:

Cho điểm A (-2; 1; 4) và đường thẳng

*
. Đường thẳng d trải qua A, cắt và vuông góc với mặt đường thẳng d1. Trong số vecto sau vecto làm sao là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A ( 6; - 12; -12)

B. ( 7; - 6; -6)

C. ( 14; -9; -9)

D. (- 6; 9; 9)

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 tất cả vecto chỉ phương

*

+ gọi B là giao điểm của d với d1, bởi vì d vuông góc cùng với d1 đề nghị

Tọa độ của B (- 2+2t; -t;3-t)

=>

*

+ Do

*

⇔ -4 + t – 3+ t= 0 ⇔ 2t- 7= 0

⇔ t=7/2

*

+ Ta thấy vecto

*
cùng phương với vecto AB→ nên vecto này cũng là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng d

Chọn C.

Câu 8:

Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d trải qua hai điểm O với M(2;1; 4). Phương trình chủ yếu tắc của mặt đường thẳng trải qua điểm A(-3; -2; -1), cắt và vuông góc với d là:

A.

*

B.

*

C.

*

D.

Lời giải:

+ điện thoại tư vấn Δ là mặt đường thẳng đề xuất tìm. Gọi giao điểm của d cùng Δ là B.

+ Đường thẳng d trải qua hai điểm O và M (2;1;4) buộc phải đường trực tiếp này dấn vecto

*
có tác dụng vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

*

+ vì B nằm trong d nên tọa độ B( 2t; t; 4t) =>

*

+ Đường trực tiếp d có vectơ chỉ phương

*

+ vì

*
⇔ 4t+ 6 + t+ 2+ 16t + 4= 0

⇔ 21t + 12= 0 bắt buộc t= (-4)/7

+ Đường trực tiếp Δ đi qua điểm A( - 3; -2; -1) và tất cả vectơ chỉ phương

*

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 9:

Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz, mặt đường thẳng Δ phía trong mặt phẳng (P): x- y + z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường trực tiếp

*
. Phương trình con đường thẳng Δ là:

A.

B.

*

C.

Xem thêm: Bình Nóng Lạnh Rossi Amore 20L Hiện Đại, Bình Nóng Lạnh Rossi Amore Ra

*

D.

*

Lời giải:

Gọi :

*

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được: ⇒1+2t-t+2-2t-1=0⇔-t+2=0